Nhiều hiện tượng phức tạp đáng ngạc nhiên có thể được mô hình hóa như các hệ gồm những hạt điểm tương tác thông qua lực tầm ngắn và tầm xa. Khuôn khổ mô hình này có nguồn gốc từ lý thuyết hệ nhiều vật thể cổ điển—chẳng hạn như động lực hấp dẫn, vận chuyển electron trong chất bán dẫn, hay các phương trình động học trong vật lý thống kê—và gần đây đã được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác như sinh học, khoa học xã hội, học máy và tối ưu hóa (xem Carrillo et al. 2010, 2019g, 2022c, 2018a; Bailo et al. 2024). Do đó, các mô hình kết tụ–khuếch tán đã trở thành một hướng nghiên cứu sôi động và phát triển nhanh chóng.
Các mô hình này bao phủ cả thang vi mô lẫn vĩ mô, với nhiều ứng dụng như vận chuyển ion qua kênh, hóa ứng động, định hướng vi khuẩn, bám dính tế bào, hình thành mạch máu, hành vi bầy đàn động vật và chuyển động của đám đông con người. Trong các hệ như vậy, tương tác giữa các “cá thể” thường được mô tả bằng lực hút tầm xa—xuất phát từ liên kết ligand, tương tác điện hoặc sở thích xã hội—kết hợp với lực đẩy tầm ngắn do ràng buộc về thể tích và mật độ.
Nhiều phương pháp mô hình vi mô dựa trên tác tử, chẳng hạn như tự động tế bào hoặc hạt Brown chịu lực dẫn, có thể tái hiện các hành vi phức tạp. Tuy nhiên, việc phân tích một cách chặt chẽ và có hệ thống thường đạt hiệu quả cao nhất thông qua giới hạn trường trung bình, đại diện cho hành vi của hệ khi số lượng tác tử trở nên rất lớn (Oelschläger 1990a; Bolley et al. 2011; Jabin 2014).
Ví dụ, xét hai loại tế bào khác nhau, mỗi loại biểu hiện các protein hoặc ligand bề mặt riêng (như cadherin hoặc nectin). Giả sử hạt nhân của loại thứ nhất nằm tại các vị trí {xi}i=1N\{x_i\}_{i=1}^N{xi}i=1N, và của loại thứ hai tại {yj}j=1M\{y_j\}_{j=1}^M{yj}j=1M, với N=MN = MN=M để đơn giản. Các tế bào tương tác thông qua lực hút ở khoảng cách trung bình (ví dụ thông qua filopodia) và lực đẩy mạnh ở khoảng cách ngắn do giới hạn kích thước và thể tích. Với giả thiết lực tương tác là đối xứng xuyên tâm và bảo toàn, mô hình vi mô có thể được mô tả bằng các phương trình động lực học cho từng tác tử.
Dưới các giả thiết phù hợp, các độ đo kinh nghiệm của mô hình—là tổng có trọng số của các hàm Dirac tại vị trí từng hạt—hội tụ về các mật độ tế bào vĩ mô đã chuẩn hóa khi số lượng hạt tiến tới vô hạn. Trong bối cảnh sinh học, lực hút thường chỉ tác động trong một bán kính cắt hữu hạn, còn lực đẩy là hoàn toàn cục bộ (Calvez và Carrillo 2012). Điều này dẫn đến cách chọn tỉ lệ tự nhiên cho thế tương tác WabN=εδ0+WabW^{N}_{ab} = \varepsilon \delta_0 + W_{ab}WabN=εδ0+Wab khi N→∞N \to \inftyN→∞, với ε\varepsilonε biểu thị thể tích đặc trưng của mỗi tế bào.
Trong giới hạn này, hệ hội tụ về mô hình kết tụ–khuếch tán trường trung bình. Tổng quát hơn, các mô hình này có thể được biểu diễn bằng phương trình liên tục mô tả sự tiến hóa động học của mật độ quần thể:
∂tρ+∇⋅(ρu)=0,u=−∇ξ,ξ=U(ρ)+V+W∗ρ.\partial_t \rho + \nabla \cdot (\rho u) = 0, \quad u = -\nabla \xi, \quad \xi = U(\rho) + V + W * \rho.∂tρ+∇⋅(ρu)=0,u=−∇ξ,ξ=U(ρ)+V+W∗ρ.
Ở đây, trường vận tốc phản ánh sự cân bằng giữa khuếch tán (do lực đẩy cục bộ hoặc nhiễu), trôi dạt dưới tác động của thế ngoài, và tương tác phi cục bộ giữa các cá thể.
TY - CHAP
AU - Bailo, Rafael
AU - Carrillo, J.A
AU - Gómez-Castro, David
PY - 2026/01/12
SP - 177
EP - 200
SN - 978-981-95-1445-8
T1 - Aggregation-Diffusion Equations for Collective Behaviour in the Sciences
VL -
DO - 10.1007/978-981-95-1446-5_9
ER -
For full paper:
https://www.researchgate.net/publication/399682810_Aggregation-Diffusion_Equations_for_Collective_Behaviour_in_the_Sciences
